Cálculo Integral: El Método de Integración por Partes

Integración por partes

Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y particularmente eficaz para integrandos donde aparecen prodictos de funciones algebraicas y trascendentes.

El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x) × v’ (x).

Para elegir la función $\ u \$ se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.
Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
Logarítmicas, Inversas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ L I A T E.
Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra LIATE.
Inversas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

Consideremos dos funciones f y g derivables en x $\varepsilon S.$

Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:

$d[f(x)\cdot g(x)] = f(x)\;g'(x)\;dx + g(x)\;f'(x)\;dx$

$f(x)\;g'(x)\;dx = d[f(x)\cdot g(x)] - g(x)\;f'(x)\;dx$

integrando a ambos lados:

$\displaystyle {\int f(x)\;g'(x)\;dx = \int d\left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int g(x)\;f'(x)\;dx}$

de donde

$\displaystyle {\int f(x)\;g'(x)\;dx = f(x)\cdot g(x) - \int g(x)\;f'(x)\;dx}$ esta es la fórmula de integración por partes.

Utilizando los diferenciales de las funciones, si entonces , y si entonces .

Sustituyendo en la igualdad anterior:

$\displaystyle {\int u\;dv = u\cdot v - \int v\;du}$

Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral $\int u\;dv$ en términos de otra integral $\int v\;du$ , que puede resultar más fácil de integrar.

Si $\int v\;du$ fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada.

Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:

$\displaystyle {\int x^{n}\;sen(a\;x)dx, \int x^{n}\;cos(a\;x)dx, \int x^{n}\;e^{ax}\;dx, \int ln\;x\;dx,}$ así como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas.